Belajar Matematika

Materi, Rumus, Soal Matematika

Pengertian dan Contoh Bilangan Prima

Kemarin ada yang tanya contoh bilangan prima setelah tak cari di blog saya ternyata memang belum ada jadi sekalian saja tak buatin artikelnya mengenai pengertian bilangan prima dan contoh bilangan prima.

Pengertian Bilangan Prima

Dalam ilmu matematika bilangan prima diartikan sebagai bilangan asli yang lebih dari satu tapi yang hanya bisa dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri. Bingung ? lihat pengertian dibawah lebih singkat jelas dan padat :)

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. 

Anggota bilangan prima ada tak terhingga banyaknya. kebalikan dari bilangan prima yaitu bilangan komposit kalo bilangan komposit artinya bilangan yang mempunyai faktor lebih dari 2. tapi gak akan admin bahas kelanjutannya mengenai bilangan satu ini :)

Apakah 7 bilangan prima ?
apakah 7 habis di bagi 1 ( ya )
apakah 7 habis di bagi 2 ( tidak )
apakah 7 habis di bagi 3 ( tidak )
apakah 7 habis di bagi 4 ( tidak )
apakah 7 habis di bagi 5 ( tidak )
apakah 7 habis di bagi  6 ( tidak )
apakah 7 habis di bagi 7 ( ya )
faktor dari 7 hanya 2 yaitu 1 dan 7 ( bilangan itu sendiri ) jadi 7 adalah bilangan prima.

Apakah 8 bilangan prima ?
apakah 8 habis di bagi 1 ( ya )
apakah 8 habis di bagi 2 ( ya )
apakah 8 habis di bagi 3 ( tidak )
apakah 8 habis di bagi 4 ( ya )
apakah 8 habis di bagi 5 ( tidak )
apakah 8 habis di bagi  6 ( tidak )
apakah 8 habis di bagi 7 ( tidak )
apakah 8 habis di bagi 8 ( ya )
faktor dari 8 lebih dari 2 yaitu : 1, 2, 4, 8 maka 8 bukan anggota dari bilangan prima.

Anggota dari bilangan prima hapir kesemuanya ganjil kecuali "2"tapi tidak semua bilangan ganjil selalu termasuk dalam anggota bilangan prima. nah ini yang perlu kalian garis bawahi satu-satunya anggota bilangan prima yang genap adalah angka 2.

Tabel Bilangan Prima

tabel bilangan prima

Lihat tabel angka disamping angka yang dilingkari itu merupakan anggota bilangan prima silahkan kalian coba angka tersebut barang kali masih ada angka yang mempunyai faktor lebih dari 2 silahkan hubungi admin :)

Contoh Soal Bilangan Prima

Tentukan semua bilangan prima n sehinggan 3n - 4, 4n - 5 dan 5n - 3 merupakan bilangan prima ?
Jawaban :
kita tidak perlu mencari satu-satu nilai n yang memenuhi syarat tersebut.
Sekarang coba kita jumlahkan ketiga bilangan tersebut, yaitu  
3n - 4 + 4n - 5 dan + 5n - 3 = 12n - 12 = 2( 6n - 6 ) (berapapun nilai n nya jika dikalikan 2 maka hsilnya akan genap )

Karena jumlah ke-3 bilangan tersebut genap , maka bisa dipastikan bahwa salah satu dari ke-3 bilangan tersebut pasti genap. Tadi sudah dibahas diatas bahwa bilangan prima genap hanya satu yaitu 2 , salah satu dari ke-3 bilangan tersebut sama dengan 2, dimana yang dapat memenuhi hanya 3n - 4 = 2, sehingga n yang memenuhi hanya n = 2.

Soal Latihan:

1. Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah …. (Soal OSP SMA 2007)
2. Diketahui adalah bilangan prima sehingga persamaan dan mempunyai solusi dan berupa bilangan bulat. Tentukan semua nilai yang memenuhi. (Soal OSP SMA 2007 bagian essay)
3. Nilai dari …. (Soal OSK SMA 2009)

Demikian artikel kali ini mengenai pengertian bilangan prima dan contoh bilangan prima, semoga bermanfaat.
Selamat belajar.

3 Metode Penentuan Akar Persamaan Kuadrat

Sebelum belajar mencari persamaan akar kuadrat, silahkan baca post sebelumnya mengenai akar kuadrat agar kalian paham betul mengenai konsep akar kuadrat. soal-soal persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, berikut penjelasannya :

Mencari akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran

Penyelesaian akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran akan sangat membantu jika kita mendapati soal-soal yang cukup sulit, artinya faktor akar-akar kuadrat tersebut tidak bisa diselesaikan dengan cara awang-awang ( menerka faktor dari bilangan ),

 Contoh 1 akar persamaan kuadrat cara pemfaktoran

2x²-25×-63 = 0 —> (Susah dikira-kira tapi susah)
Cari 2 angka yang jika ditambahkan nilainya sama dengan b dan dikalikan   nilainya = a.c
Dari soal tersebut didapat bahwa a = 2, b = -25 dan c = -63
Nilai axc = 126, faktorkan 126 untuk mencari 2 bilangan yang jika ditambahkan hasilnya = b

Faktor dari 126 yaitu 1,2,3,7,9,18,63 ambil 2 angka dari faktor tersebut yang dijumlahkan nilainya -25, didapat nilai -7 dan -18

2x²-25×-63 = 0
2x²-18x-7×-63 = 0
2x(x-9)-7(x-9) = 0 (pakai aturan asosiasi, semoga paham)
(2×-7) (x-9) = 0 (selesai) mudah bukan :D2x2-25×-63 = 0
x²-18x-7×-63 = 0
2x(x-9)-7(x-9) = 0 (pakai aturan asosiasi, semoga paham)(2×-7) (x-9) = 0 (selesai)

Contoh 2 akar persamaan kuadrat cara pemfaktoran

contoh yang ke-2 ini persamaan akar kuadratnya lebih sederhana jadi dapat kalian selesaikan dengan cara awang-awang seperti yang admin katakan tadi :v

2 contoh diatas merupakan persoalan akar persamaan kuadrat dengan 3 suku ( ax²+ bx + c ) bagaimana jika akar persamaaan kuadratnya hanya dua suku misal ( ax² + bx  ) atau ( ax² + c , berikut cara penyelesaiannya

Soal latihan akar persamaan kuadrat

1.  x2 – 10 x = – 21
2. x² + 4x –12 = 0
3. 3x² – x – 2 = 0
4. x² + 7 x + 12 = 0
5. x² + 8 x = –15

Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Rumus ABC

Tidak semua persoalan akar persamaan kusdrat dapat kita selesaikan dengan cara pemfaktoran, dan kalo mungkin bisa membutuhkan waktu yang lebih lama untuk menemukan jawabannya, tapi tenang saja masih ada rumus persamaan kuadrat yang sering di sebut sebagai rumus ABC sebagai solusi pemecah masalah tersebut.

Rumus ABC

lihat tanda ± dalam rumus tersebut, tanda tersebut menunjukkan adanya dua kemungkinan yang dapat dihasilkan yaitu antara x₁ dan x₂

x₁ = (-b ± √[b2 - 4ac]) / 2a
x₂ = (-b ± √[b2 - 4ac]) / 2a

 Contoh Soal
x²– 8x +9 = 0
x = (-b ± √[b2 - 4ac]) / 2a
x = (8 ± √[64 - 4·1·(9)]) / 2·1
= (8 ± √[64 -36]) / 2
= (4 ± √28) / 2
= (4 ± 2√7) / 2
= (2 ± √7)
x1 = (2 + √7)
x1 = (2 – √7) 

Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapi Kuadrat Sempurna

Cara yang satu ini lebih sederhana, hanya dengan melakukan sedikit manipulasi dalam menemukan akar-akar persamaan kuadrat untuk lebih jelasnya kita akan menggunakan contoh soal diatas yang sudah diselesaikan dengan rumus ABC agar kalian dapat membandingkan cara yang ketiga dengan cara yang ke-2 tadi, yuk simak baik-baik :

Jiks kalian dapat memahami prinsip-prinsip dalam penyelesaian persoalan persamaan kuadrat nantinya jika kalian menemukan soal yang lebih sulit admin yakin dapat kalian selesaikan dengan baik. 

selamat belajar matematika !!

Integral Trigonometri & Integral Tak Tentu

materi matematika integral trigonometri dan integral tak tentu yang merupakan salah satu bab materi matematika yang  harus kalian pelajari dengan seksama, jika anda sudah sidkit memahami lebih baik dilanjutkan dengan sering-sering menyelesaikan soal-soal integral trigonometri agar anda dapat memahami secara utuh.

Integral Tak tentu

Rumus integral bentuk baku

 

Tidak afdol dong belajar matematika tanpa melihat contoh soal dan pembahasan materi integralnya, yuk perhatikan contoh soal berikut :

Rumus tambahan

dengan a = konstanta

Integral dengan cara subtitusi

yang dimaksud dengan integral cara subtitusi yaitu meng-integrasikan fungsi yang berbentuk seperti integral baku, dengan mensubtitusikannya, seperti contoh berikut :

ganti x dengan ( 3 + 6x ) agar sama, dengan cara mendeferensialkan fungsi yang terletak pada dalam kurung.

Rumus integral subtitusi

Integral Trigonometri

Berikut tabel rumus integral trigonometri yang dapat membantu kita dalam menyelesaikan persoalan-persoalan integral trigonometri.

sebenarnya masih ada sih contoh soal integral trigonometri yang sudah disertai pembahasannya tapi berhubung sudah malam dan hampir pagi maka postingan kali ini admin cukupkan, terus contohnya mana ? tenang saja ebooknya sudah admin uploadkan untuk kalian mulai dari pembahasan awal tadi.

Silahkan download materi dan soal lengkap dengan pembahasan integral trigonometri dan integral tak tentu disini

Pikatan, Juara Olimpiade Matematika dunia 2014

Sudah beberapa kali indonesia memenangkan olimpiade matematika tingkat dunia kabar terakhir yang admin baca salah satu website berita adalah Pikatan Arya Bramajatiyang merupakan Siswa kelas 6 SDN 2 Sokanegara Purwokerto, Jawa Tengah kembali mengharumkan Indonesia dengan menyabel juara umum lomba matematika sedunia yang diadakan di india. Pikatan merupakan satu-satunya siswa yang mempersembahkan medali emas di ajang kompetisi matematika Wizards At Mathematics International Competition (WIZMIC) 2014, India yang berhasil bersaing dengan 172 peserta dari 43 tim berbagai negara.

Pikatan, Juara Olimpiade Matematika dunia

Ditemui di Bandara Soekarno-Hatta oleh salah satu reporter swasta, Pikatan mengutarakan keinginan yang kuat untuk mengikuti WIZMIC 2014, selain suka matematika ia juga ingin mencari pengalaman baru serta ingin pergi keluar negeri (India). Anak asuh dari R. Ridwan Hasan Saputra ini ternyata kerap mengikuti ajang kompetisi matematika tingkat internasional dan berhasil meraih beberapa medali.

“Aku sudah tiga kali mengikuti kompetisi matematika, di International Mathemathics Competition (IMC) 2013 Singapura dapat medali perunggu, IMC 2014 Singapura dapat medali perak dan sekarang di WIZMIC India meraih medali emas,” tutur Pikatan, Kamis (23/10/14).

172 peserta yang berasal dari berbagai negara, anak yang juga hobi bermain komputer ini mengaku tidak ada peserta yang menjadi pesaing terberat. Persiapan pikatan untuk mengikuti lomba ini pun hanya dilakukan melalui pembinaan karantina oleh KPM selama 5 hari.

Di olimpiade matematika sebelumnya pikatan hanya mampu mempersembahkann medali perak dan perunggu, untuk kali ini pikatan sangat bergembira karena dapat mempersembahkan medali emas untuk teman satu timnya.
sebagai bentuk dukungan dari sang ibu (Dewi Sekar sari) atas kesukaan anaknya terhadap matematika ibunda berupaya mencari sebuah komunitas matematika dan juga ajang kompetensi agar pikatan dapat lebih mengeksplore kemampuannya. " Dan kebetulan kami menemukan komunitas matematika yaitu KPM dan juga ajang kompetensi yang tepat. Kemudian kami bergabung dalam kegiatan-kegiatan KPM yang kami rasa cocok karena selain pengembangan ilmu matematika KPM juga memberikan pengajaran mengenai akhlak" terang Dewi.

Mengenai keikutsertaan di ajang kompetisi matematika selanjutnya, dirinya tidak mengharuskan pikatan untuk selalu ikut serta, semua itu tergantung pada pikatan. Meski demikian, dirinya hanya bisa berusaha untuk mencarikan ajang kompetisi yang sesuai dengan hobinya.  “Jadi terserah pada hobi Pikatan, intinya  kita selalu mensuport, apakah di jalur matematika, atau Pikatan ternyata mempunyai hobi yang lainnya, itu tidak menjadi masalah,” tandasnya.

Selain meraih medali emas di ajang tersebut, Pikatan Arya Bramajati bersama timnya Hanan Fahmi, Rio Alexander Audino, Armand Khalif Susetyo masuk dalam tim Indonesia D dan meraih penghargaan sebuah medali perak untuk kategori Team Award.

Oleh : Haris dan Amir S

Contoh Soal Relasi dan Fungsi + Pembahasannya

Contoh soal relasi dan fungsi beserta pembahasannya, lanjut yuk belajar matematematikanya karena kemaren ada yang menanyakan tentang soal relasi dan fungsi makanya kali ini admin buat artikelnya. Kali aja temen-temen juga lagi belajar mengenai bab ini.

Tadinya sih tak suruh nyari soal dan jawaban matematika bab relasi di blog ini eh ternyata belum ada artikel khusus untuk yang membahas mengeai relasi dan fungsi :D maklumlah karena banyak kesibukan lain jadi ingetnya sudah pernah posting.

Relasi dan fungsi merupakan salah satu bab yang harus kalian pelajari saat kalian duduk di bangku SMP kelas 8, sebelum menginjak ke contoh soal relasi dan fungsi ada baiknya kita sedikit mengingat kembali mengenai apa itu relasi dan fungsi, jika kalian sudah paham silahkan langsung saja scroll kebawah untuk melihat contoh soalnya.

Relasi dan Fungsi

Relasi himpunan X ke himpunan Y dapat kita definisikan sebagai sebuah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan X dengan anggota-anggota himpunan B. Suatu relasi dapat di nyatakan dengan 3 cara, yaitu diagram Cartesius, dengan diagram panah, dan yang ke tiga yaitu dengan himpunan pasangan berurutan.

Fungsi bisa juga disebut sebagai suatu relasi dengan syarat tertentu, apa sih syaratnya ? Syarat dari suatu relasi yang merupakan pemetaan atau fungsi yaitu jika setiap anggota himpunan X mempunyai pasangan di anggota himpunan Y dan setiap anggota himpunan X dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan Y.

Contoh Soal Relasi dan Fungsi

contoh soal relasi dan jawabannya

Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

• Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
• Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
• Vita menyukai pelajaran IPA, dan
• Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa ingris

 Buatlah relasi dari soal diatas dan disajikan menggunakan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Jawab :

Untuk mempermudah menjawab persoalan diatas gunakanlah permisalan seperti : Himpunan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, Himpunan B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke B.

Diagram panah

 

Diagram Cartesius

Himpunan pasangan berurutan
Himpunan pasangan berurutan dari soal diatas adalah {(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

Contoh Soal Fungsi beserta jawabannya

Namanya juga contoh soal ya jangan banyak-banyak to ya yang penting kalian bisa memahami dengan baik, jika kurang puas dengan contoh diatas silahkan kalian download saja BSE matematika kelas 8 kurikulum 2013 di eboook tersebut terdapat banyak soal dan contoh soal lainnya yang dapat kalian gunakan sebagai sarana pendukung belajar kalian. selamat belajar matematika contoh soal relasi dan fungsi. Jika kalian ingi

Perkalian Akar ! apa dan bagaimana ?

Perkalian akar, masih ingat dengan sifat √ab = √a × √b ya benar untuk menyederhanakan suatu akar kita dapat menggunakan sifat tersebut dan penting untuk diingat bahwa nilai a dan juga b harus dari bilangan rasional positif sedangkan untuk operasi perkalian akar kita akan menggunakan sifat √a × √b = √ab. kebalikan dari sifat pertama tadi :v

Belajar matematika tidak afdol rasanya tanpa contoh soal, yuk simak baik-baik contoh soal perkalian akar berikut agar dapat memahami konsep perkalian akar secara keseluruhan.

Contoh Soal Perkalian Akar 1

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a. √2 × √3
b. √5 × √11
c. √3 × √7
d. √5 × √19

Penyelesaian:
 a. √2 × √3 = √(2 × 3) = √6
b. √5 × √11 = √(5 × 11) = √55
c. √3 × √7 = √(3 × 7) = √21
d. √5 × √19 = √(5 × 19) = √95


Demikian contoh perkalian bentuk akar sedehana. Bagaimana dengan operasi perkalian akar seperti a√b × c√d? Jika operasi perkalian akar seperti a√b × c√d maka berlaku sifat:
a√b × c√d = ac√bd

Contoh Soal Perkalian Akar 2

Sederhanakan bentuk akar berikut.
a. 3√2 × 2√3
b. 11√4 × 5√2
c. 7√3 × 3√7
d. 19√2 × 5√10

Penyelesaian:
a. 3√2 × 2√3 = (3 × 2)√(2 × 3) = 6√6
b. 11√4 × 5√2 = (11 × 5)√(4 × 2) = 55√8
c. 7√3 × 3√7 = (7 × 3)√(3 × 7) = 21√21
d. 19√2 × 5√10 = 19 × 5)√(2 × 10) = 95√20

Selanjutnya operasi perkalian akar dengan bentuk seperti (√a + √b)(√c + √d)? tentunya kalian sudah memahami bagaimana cara perkalian antara (a + b) (c + d) , dengan cara yang sama maka bentuk perkalian akar diatas akan menghasilkan (√a + √b)(√c + √d) = √ac + √bc + √ad + √bd)

Contoh Soal Perkalian bentuk akar 3

Sederhanakan bentuk-bentuk perkalian akar berikut.
a. (√2 + √3)(√2 + √3)
b. (√3 + √5)(√7 + √2)
c. (√5 + √6)(√5 – √6)

Penyelesaian:
a. (√2 + √3)(√2 + √3)
= √(2 × 2) + √(2 × 3) + √(3 × 2) + √(3 × 3)
= √4 + √6 + √6 + √9
= 2 + 2√6 + 3
= 5 + 2√6

b. (√3 + √5)(√7 + √2)
= √(3 × 7) + √(3 × 2) + √(5 × 7) + √(5 × 2)
= √21 + √6 + √35 + √10

c. (√5 + √6)(√5 – √6)
= √(5 × 5) + √(5 × 6) – √(6 × 5) – √(6 × 6)
= √25 + √30 – √30 –√36
= 5 – 6
= – 1

Demikian ulasan singkat mengenai pekalian bentuk akar yang bisa admin bagikan semoga bermanfaat dan untuk tatangan atas pemahaman kalian berikut ada 6 soal yang harus kalian kerjakan untuk latihan dan juga mengasah pemahaman kalian mengenai perklaian bentuk akar.

Soal perkalian akar
Sederhanakan bentuk berikut.
a. √50 × √4
b. 2√6 × √7
c. √22 × √4
d. (2√5 + 3√5)(4√5 + 5√5)
e. (2√2 – 5√2)(2√2 + 5√2)
f. (2√11 – √11)(2√11 + √11)

Selamat belajar perkalian bentuk akar !

Tabel dan Cara Belajar Perkalian 1 sampai 10

Perkalian 1 sampai 10 waktu jaman saya sekolah dulu diajarkan pada saat masih duduk dibangku Sekolah Dasar ( SD ) menurut asumsi admin perkalian 1 sampai 10 memang harus dikusai anak-anak sd agar kedepannya anak-anak bisa mencerna dengan mudah materi matematika yang akan diajarkan selanjutnya.

Pada saat menginjak kelas 4 anak harus menguasai perkalian 6 - 10 diluar kepala, maksudnya ketika anak di tanya perkalian antara 6 kali 7 tidak harus berfikir lama untuk menjawabnya, seingat admin waktu itu diajar oleh guru dengan perkalian jarimatika dan itu sangat membantu sekali dalam pemahaman dan kecepatan menjawab soal-soal perkalian.

Tabel perkalian 1 sampai 10

Sebelum admin berbagi cara belajar perkalian 1 sampai 10 ada baikknya admin membagi tabel perkalian 1 sampai 10 guna penalaran singkat dan juga bisa di gunakan pencocokan hasil perkalian yang di hitung oleh anak-anak, akan tetapi diusahakan anak-anak tidak ketergantungan untuk selalu menggunakan tabel perkalian berikut untuk menjawab suatu persoalan.

Koq sampai 12 tabel perkaliannya ? iya karena untuk merangsang otak anak agar untuk berfikir selangkah lebih maju bahwasannya perkalian tidak hanya sampai pada angka 10. Jika kalian sebagai seorang guru atau mungin ibu rumah tangga silahkan kalian ajarkan kepada anak-anak anda bagaimana membaca tabel perkalian tersebut.

Cara Belajar Perkalian 1 sampai 10

Belajar perkalian 1 sampai 10 itu mudah mungkin buat kalian yang sudah duduk di kelas 4, 5 atau 6 tapi lain ceritanya dengan anak sd kelas 1, 2 dan 3 tidak semudah yang anda pahami sekarang ini, tidak mudah untuk memberikan pemahaman kepada anak yang sejatinya masih lebih senang untuk bermain ketimbang belajar.

Peran orang tua dan juga keluarga sekitar amat sangat membantu dalam pemahaman anak, kenapa demikian ? karena disela-sela keluar mengajak bermain dengan anak keluarga dapat menanamkan konsep dasar perkalian dengan tetap dibungkus dengan dunia main si anak.

Berfikirlah cerdas untuk anak lebih cerdas, misal saja anak kita sedang bermain neker, memasukkan neker dalam kotak sama-sama banyak, misal kotak a, b dan c semuanya diisi 1 neker kemudian tanya anak anda berapa jumlah semua neker didalam kotak ? anak akan menghitung 1 - 3 kemudian tanamkan cara penghitungan dengan kotak 1 ditambah kotak 2 di tambah kotak 3 sama dengan 3. dari situ anak seudah kita tanami konsep perkalian 3 x 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Seperti yang sudah admin katakan tadi berfikirlah kreatif sesuai dengan kondisi, apa yang sedang anak-anak anda mainkan sisipkanlah dengan problematika sederhana agar anak dapat beriteraksi dengan soal-soal yang kita ajukan.

Demikian sedikit cara dari pengalaman pribadi untuk bagaimana cara belajar perkalian antara 1 sampai 10.